Simplificación por Mapas de Karnaugh

La complejidad de los sistemas digitales que es implementado a partir de una función lógica, directamente relacionado con la complejidad de la expresión algebraica a partir de la cual la función se implementa. La representación de la tabla de verdad de una función es única pero la función puede aparecer en muchas formas diferentes como se expresa algebraicamente. La expresión puede simplificarse utilizando las relaciones básicas del álgebra Booleana. Este procedimiento sin embargo, es algunas veces difícil porque carece de reglas específicas para predecir cada uno de los pasos sucesivos en el proceso de manipulación. El método del mapa de Karnaugh proporciona un procedimiento simple, y directo para simplificar funciones Booleanas. Este método puede mirarse como un arreglo gráfico de una tabla de verdad que permite una interpretación fácil para elegir el mínimo número de variables que se necesitan para expresar la función algebraicamente. Este método se basa en una nueva tabla, con la intención de formar grupos de unos y obtener la función lógica simplificada como una suma de grupos de “unos”, los grupos de unos deben ser en cantidades como: 1, 2, 4, 8, 16, etc. Los unos para formar los grupos deben estar en horizontal o en vertical, nunca se debe agrupar en diagonal. El mapa de karnaugh es un diagrama hecho de cuadrados, en el que, cada cuadrado representa un estado y en ese cuadrado debe ir el valor que toma la variable de salida. Por lo tanto en los cuadrados encontraremos o “1” o “0”, dependiendo de la tabla. Para no equivocarse, conviene tener identificado cada cuadrado con un número, con el número de estado, de esta forma pasar de la tabla de estado a la tabla de Karnaugh sea sencillo. Los mapas de Karnaugh pueden usarse para los sistemas de dos, tres y más variables, nosotros trataremos solo de dos y de tres variables, con el objeto de conocer cómo se manejan y que importancia han tenido en el desarrollo de los sistemas digitales. Mapa de Karnaugh de dos variables En el siguiente gráfico puede darse cuenta que cada estado de la tabla de verdad tiene un número que lo identifica y tiene su correspondiente cuadrado en el mapa. Como los estados son cuatro, los números de estados son: 0, 1, 2 y 3, y que en la tabla hay cuatro cuadrados identificados con: 0, 1, 2 y 3 El mapa de Karnaugh está dividido de tal manera que se forman grupos en horizontal y vertical, en el ejemplo anterior tenemos dos grupos, uno de ellos corresponde a los cuadrados 1 y 3 y el otro grupo está formado por los cuadrados 2 y 3. Veamos algunas reglas para el uso de los mapas de Karnaugh: Las agrupaciones son exclusivamente de unos, esto implica que ningún grupo puede contener un cero. Los grupos pueden formarse solo en horizontal o en vertical, esto implica que las diagonales están prohibidas. Los grupos deben contener 2n elementos, es decir cada grupo tendrá 1, 2, 4, 8... unos. Veamos algunos ejemplos: Mapa de Karnaugh de tres variables En este caso se debe pasar dela tabla de estado a la tabla o mapa de Karnaugh, el cual tiene 8 cuadrados, cada uno de ellos también los hemos identificado con el número de estado, para pasar fácilmente de una tabla a la otra, veamos las dos tablas a través del siguiente gráfico: Una vez que se ha pasado de la tabla de estado a la tabla de Karnaugh, debemos agrupar los unos, se debe agrupar la mayor cantidad de unos, siguiendo la secuencia: 1, 2, 4, 8; finalmente, la salida Z se obtiene como la suma de grupos, tal como se puede ver en la siguiente figura: En el mapa de Karnaugh de tres variables, se ha distribuido los cuadrados para hacer más fácil la simplificación, de esta forma el grupo de 4 unos de la parte superior es igual a Ā y los cuatro cuadrados inferiores es igual a la variable A, de manera similar ocurre con las otras variables, tal como se puede apreciar en el siguiente gráfico, donde hemos puesto algunos ejemplos: Primero, grupos de cuatro “unos”, a los que les corresponde una letra. Segundo, grupos de dos “unos”, a los que les corresponde dos letras. Tercero, grupos de un “uno”, a los que les corresponde tres letras. Agreguemos algunas reglas para los mapas de Karnaugh. Los grupos deben contener 2 n elementos, es decir cada grupo tendrá 1, 2, 4, 8... unos. Cada grupo ha de ser tan grande como sea posible, tal como se ve en el ejemplo, donde cabe destacar que a pesar de que no se ha incumplido ninguna regla, el resultado no esta simplificado correctamente. Todos los unos tienen que pertenecer como mínimo a un grupo, aunque puedan pertenecer a más de uno. Puede existir solapamiento de grupos. La formación de grupos también se puede producir con las celdas extremas de la tabla. Tenga en cuenta que la tabla debe ser considerada como un cilindro, tal como aparece en la siguiente figura. Implementación de sistemas digitales Ejemplo 1 Se tiene la siguiente tabla para un sistema digital de tres entradas y una salida, se quiere hallar la función lógica, la función lógica simplificada mediante Karnaugh y finalmente el circuito digital. Primero determinemos la función lógica, recordemos que ésta es la suma de términos, la cantidad de términos depende de la cantidad de unos que tenga la salida Z, en este caso hay cuatro unos, por lo tanto: Ahora simplifiquemos utilizando el mapa de karnaugh, para ello debemos cambiar de la tabla de estado a la tabla de karnaugh, teniendo en cuenta los números de estados, de la siguiente manera: La salida Z la obtenemos como la suma de dos grupos: Por último nos queda desarrollar el circuito lógico en base a la expresión algebraica obtenida anteriormente. Ejemplo 2 Dada la siguiente función lógica de un sistema digital de tres variables de entrada: Simplifique utilizando el mapa de Karnaugh, represente el circuito lógico equivalente y complete la tabla de estado. Para simplificar utilizando el mapa de Karnaugh, debemos recordar cuando se tiene dos letras es producto de la simplificación de dos unos, por lo tanto, usaremos la tabla de Karnaugh y dibujaremos los cuatros grupos que corresponden a los cuatro términos de la función lógica. Si a partir de lo obtenido hacemos una nueva agrupación de unos, obtendremos la función lógica simplificada, tal como se puede ver en el siguiente cuadro: Finalmente, nos piden obtener la tabla de estado, esto lo podemos hacer simplemente considerando los números de estados del mapa y los números de estados de la tabla de verdad.